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您是否注意過(guò)，當(dāng)激光筆的光斑投射在墻面上時(shí)，它的邊緣總是朦朧如霧，而中心卻明亮如星？這種看似簡(jiǎn)單的光斑背后，隱藏著一種跨越數(shù)學(xué)與物理的深邃規(guī)律——高斯光束。

     今天，我們將揭開這束光的密碼：它是如何被數(shù)學(xué)預(yù)言，又如何成為激光技術(shù)的靈魂？

    光束在垂直于光軸平面上的電場(chǎng)可由高斯方程表示，有時(shí)還會(huì)有附加的拋物線型相位曲線。

     尤其是在激光物理中，激光光束通常為高斯光束，是以數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Johann Carl Friedrich Gau?命名。這時(shí)功率為P的光束光強(qiáng)的橫斷面可由高斯方程表示： 

這里光束半徑w(z)為光強(qiáng)降為峰值的1/e2 (≈?13.5%)時(shí)距光軸的距離。孔徑半徑為w時(shí)可以透射約86.5%的光功率。如果孔徑半徑為1.5w或者2w，傳輸比例分別提高到 98.9%和99.97%。 

     除了強(qiáng)度可以采用高斯方程描述，高斯光束的橫向相位曲線可由最多二階多項(xiàng)式來(lái)描述。在一個(gè)方向上相位的線性變化可由一個(gè)傾角描述，相位的二階變化則與光束的發(fā)散和會(huì)聚相關(guān)。

高斯光束的傳輸
 

通常在傍軸近似適用的情況下將光束看做高斯光束，即光束發(fā)散角比較小。這一近似下，傳播方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可以忽略，只得到一階微分方程。并且采用這種近似時(shí)，高斯光束在自由空間中傳播仍然保持高斯型，其參數(shù)會(huì)發(fā)生一些變化。一束單色光束，波長(zhǎng)為 λ，在z軸傳播時(shí)，電場(chǎng)的復(fù)振幅為：

最大幅值為|E0|，束腰處的光束半徑為 w0，波數(shù) k?=?2π?/?λ，zR為瑞利長(zhǎng)度，波前的曲率半徑為R(z)。震蕩的實(shí)數(shù)電場(chǎng)可以通過(guò)乘以相位因子exp(i?2π?c?t?/?λ) 并且取實(shí)部得到。 

圖1：高斯光束焦點(diǎn)處的電場(chǎng)分布。這時(shí)光束半徑比波長(zhǎng)稍大，光束發(fā)散角很大。根據(jù)以上方程，場(chǎng)由左側(cè)向右側(cè)移動(dòng)。 

在傳播方向上的光束半徑變化為： 

其中瑞利長(zhǎng)度為：

     決定了在多長(zhǎng)距離范圍內(nèi)光束不會(huì)發(fā)散很嚴(yán)重的傳播（之前通常采用共焦長(zhǎng)b描述，它是瑞利長(zhǎng)度的二倍）。準(zhǔn)直光束（光束半徑接近于常數(shù)）的瑞利長(zhǎng)度與傳播距離相比比較大。 

圖2：高斯光束的光束半徑變化（藍(lán)色曲線）。兩條豎線代表瑞利長(zhǎng)度，虛線表明遠(yuǎn)離束腰的漸變變化情況。 

     以上方程中 z?=?0對(duì)應(yīng)于束腰或者焦點(diǎn)，在該點(diǎn)光束半徑是最小的，相位曲線是平坦的。波前曲率半徑為R的演化遵循方程： 

     在透明介質(zhì)中傳播時(shí)，λ是介質(zhì)中的波長(zhǎng)（非真空波長(zhǎng)）。上面采用的其它參數(shù)和方程都不用改變，這時(shí)假設(shè)了介質(zhì)是各向同性、均勻和無(wú)損耗的。

圖3：具有彎曲波前的高斯光束。在接近于焦點(diǎn)和遠(yuǎn)離焦點(diǎn)時(shí)曲率都很小。電場(chǎng)中的反正切項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是古依相移，對(duì)于光學(xué)諧振腔的諧振頻率非常重要。 

     遠(yuǎn)場(chǎng)的光束發(fā)散角為： 

     表明束腰半徑越小，波長(zhǎng)越長(zhǎng)，則遠(yuǎn)離束腰后光束的發(fā)散越強(qiáng)。高斯光束的光束參數(shù)乘積（束腰半徑與遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角的乘積）等于 λ/π，只與波長(zhǎng)有關(guān)。如果激光光束的光束質(zhì)量是非理想的，該值會(huì)更大。 

     傍軸近似需要焦點(diǎn)處光束半徑比波長(zhǎng)大。這表明這時(shí)光束發(fā)散角不會(huì)很大，并且瑞利長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于光束半徑。緊聚焦光束一般不能很好的滿足傍軸近似，這時(shí)需要更加復(fù)雜的方法來(lái)計(jì)算光束傳播情況。 
 

復(fù)數(shù)參數(shù) 

在z處高斯光束的狀態(tài)可以由一個(gè)復(fù)數(shù)q表征： 

這樣復(fù)電場(chǎng)可寫為： 

傳輸一定距離可以簡(jiǎn)單的表示為該距離上q參數(shù)的增加。當(dāng)高斯光束通過(guò)一個(gè)曲面鏡或者透鏡時(shí)， q參數(shù)變化可由ABCD矩陣表示： 

 像散光束
在兩垂直的橫平面方向上，寫為x和y方向，高斯光束的半徑和發(fā)散角可能不同。上面給出的方程可分別用來(lái)描述每一方向上光束半徑的變化。如果兩個(gè)方向上的焦點(diǎn)位置不重合，就稱該光束是像散的。 

高斯光束和諧振腔模式

如果諧振腔是穩(wěn)定的，諧振腔中的光學(xué)介質(zhì)是各向同性的，介質(zhì)表面要么是平坦的或者是拋物線形狀的，那么光學(xué)諧振腔橫向的低階模式（TEM00或者橫向基模）就是高斯模。因此，只輻射橫向基模的激光器輻射的光束接近于高斯型。而任何偏離之前描述的條件，例如，增益介質(zhì)中存在熱透鏡效應(yīng)等，都會(huì)使光束為非高斯型，同時(shí)還會(huì)激發(fā)多個(gè)縱模。更高階縱?？捎啥蛎?高斯方程或者拉蓋爾-高斯方程來(lái)描述。任意情況下，與高斯譜型的偏離都可以由 M2因子定量表示。高斯光束具有最高的光束質(zhì)量，對(duì)應(yīng)的光束參量乘積最小，并且對(duì)應(yīng)的M2 = 1。 

     光纖的基模并不嚴(yán)格為高斯型，但是形狀與高斯型差別不是很大。因此，采用合適的光學(xué)元件，高斯光束可以有效進(jìn)入單模光纖中（80%或更大）。 

高斯光束的重要性

高斯光束的重要性體現(xiàn)在以下幾個(gè)重要特性上： 

1.在光軸的任意位置處高斯光束的強(qiáng)度橫斷面曲線都是高斯型，只是光束半徑會(huì)發(fā)生變化。 

2.當(dāng)腔內(nèi)不存在光束畸變的情況下，高斯光束為光學(xué)諧振腔的低階模式（諧振腔模式）。因此許多激光器的輸出都是高斯光束。 

3.單模光纖中的模式形狀接近于高斯型。通常在計(jì)算中會(huì)采用高斯近似因?yàn)檫@在計(jì)算光束傳播情況時(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單。 

4.高階模式對(duì)應(yīng)的是厄米-高斯型。場(chǎng)分布更加復(fù)雜，光束參量乘積更大。 

下一次，當(dāng)您用激光遙控器打開電視，或是在機(jī)場(chǎng)掃描行李的紅色光幕前駐足，不妨想象這道光在空間中延展的曲線：它不僅是科學(xué)上的一個(gè)經(jīng)典答案，更是無(wú)數(shù)未來(lái)技術(shù)等待書寫的空白頁(yè)腳注。正如光本身從不停止傳播，人類對(duì)它的探索，也永遠(yuǎn)在路上。